Coreapp.ai - decentralized online education platform

Основная часть

Что особенного в данном уравнении?

Заполните пропуски в рассуждении

Присутствует и та же функция в разных степенях
Т.е. это уравнение по внешнему виду напоминает уравнение, но чтобы перейти к уравнению нужно осуществить переменной.

Рассмотрим решение данного уравнения

Заполните пропуски

- Итак, мы рассмотрели уравнение вида a(sinx)^2+ bsinx + c = 0 , а ≠0. Полагая sinx=t, переписали уравнение в виде at^2+t+c=0 . Если , тогда уравнение не имеет действительных корней, и поэтому уравнение , а ≠0 не имеет корней. Если , тогда уравнение имеет корни t1, t2 и уравнение a(sinx)^2+bsinx+c = 0, а ≠0 равносильно совокупности уравнений sinx=t1, sinx=t2. Тогда уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда D≥0 и по крайней мере одно из чисел t1, t2 по абсолютной величине не превосходит единицы.

Таким образом, мы рассмотрели как используется метод переменной (введения нового неизвестного) и тригонометрическое уравнение определенного вида, сводится к уравнению. Аналогично уравнения вида a(cosx)^2+bcosx+c = 0 , a(tgx)^2+btgx+c=0, , а≠0, приводятся к уравнению.

Рассмотри уравнение следующего вида

Решение:

Учитывая формулу ctgx=1/tgx , уравнение можно решать заменой tgx=t .

Решите уравнение

tgx-2ctgx+1=0

Attach file

Рассмотрим какие существуют однородные тригонометрические уравнения.

Однородное тригонометрическое уравнение 2sinx+cosx=0 - уравнение 1 степени. Поэтому применим общий прием решения однородных уравнений.

Итак, однородное тригонометрическое уравнение 1 степени вида asinх+bcosх =0, решается следующим образом:

Разделив обе части уравнения на cosx≠0, получим равносильное ему уравнение atgx+b=0.
Выражаем tgx, получаем tgx=-b/a.
Находим корни данного уравнения по общей формуле нахождения корней уравнений с tgx.

Рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение 2 степени. Для решения применим общий прием решения однородных уравнений.

Решение:

Итак, однородное тригонометрическое уравнение 2 степени вида asin²x+bsinxcosx+ccos²x=0, а ≠0 решается следующим образом:

Разделив обе части уравнения на cos²x ≠0 , получим равносильное ему уравнение atg²x+btgx+c=0.
Делается замена переменной t=tgx и решается квадратное уравнение at² +bt+c=0.
Затем возвращаемся к исходной переменной и решаем простейшие уравнения относительно tgx.

Некоторые уравнения можно свести к однородному тригонометрическому уравнению 2 степени

Решите уравнение 3+sin2x=4(sinx)^2

Подсказка: для решения уравнения вам потребуются формулы синуса двойного угла и основного тригонометрического тождества

Attach file

Рассмотрим применение другого общего метода решения уравнений - метода разложения на множители.

Решим уравнение cos3x-cos5x=sin4x

Итак, с помощью равносильных преобразований выражений тригонометрическое уравнение f(x)=0 может быть приведено к виду f1(x)*f2(x)*...*fn(x)=0 . На области определения исходного уравнения полученное уравнение равносильно совокупности: f1(x)=0 или f2(x)=0 … или fn(x)=0. Объединение корней уравнений этой совокупности, входящих в область определения исходного уравнения, и есть его решение.

Для разложения тригонометрического выражения на множители могут применяться вынесение общего множителя, способ группировки, формулы сокращенного умножения или формулы тригонометрии (преобразование суммы/разности в произведение, формула синуса двойного угла, понижение степени и другие), а также комбинации тригонометрических и алгебраических преобразований.

Решим следующее уравнение

Решение:

Рассмотрим другой метод - метод оценки

Решение:

Итак, мы рассмотрели еще один общий метод – метод оценки. Предварительная оценка левой и правой частей уравнения иногда позволяет найти его корни или установить, что уравнение не имеет корней

Рассмотрим частные приемы решения тригонометрических уравнений

sinx-cosx=1

Решение:

Решите самостоятельно

Для ответа

Решение и ответы прикрепите документом:

Attach file

2/3

Add the lesson to yourself and edit if needed. More details