Уважаемые Ученики, мы продолжаем изучать действия с целыми числами.

Сегодня рассмотрим тему «Произведение целых чисел».

Перейдем к рассмотрению теоретического материала:

Произведение любого числа a и нуля равно нулю.

Чтобы найти произведение нескольких чисел, нужно найти произведение двух первых чисел, умножить на третье число и так далее.

Степенью целого числа a с натуральным показателем n (n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен a.

Мы уже изучали правила умножения целых чисел.

Сегодня рассмотрим свойства произведения целых чисел.

Умножение целых чисел на 0.

Произведение любого целого числа a и нуля равно нулю.

a ∙ 0 = 0

Рассмотрим примеры.

Найдите произведение целого положительного числа 209 и нуля.

Решение:

203 ∙ 0 = 0

Найдите произведение нуля и целого отрицательного числа (– 29).

Решение:

0 ∙ (– 29) = 0

Умножение целого числа на 1

Произведение целого числа и 1 равно cамому числу.

a ∙ 1 = a

Рассмотрим примеры.

Вычислите произведение положительного целого числа 64 и единицы.

Решение:

64 ∙ 1 = 64

Вычислите произведение единицы и отрицательного целого числа (– 475).

Решение:

1 ∙ (– 475) = – 475

Найдите произведение нуля и единицы.

Решение:

0 ∙ 1 = 0

Умножение на (– 1)

При умножении числа на (– 1) меняется только знак, то есть получается число, противоположное a.

a ∙ (– 1) = – a

Законы умножения

Переместительный и сочетательный законы умножения верны для любых целых чисел, и их можно применять для упрощения числовых выражений.

Переместительный закон умножения:

a ∙ b = b ∙ a

Сочетательный закон умножения:

a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

Умножение или произведение нескольких целых чисел

Чтобы найти произведение нескольких чисел, нужно найти произведение двух первых чисел, умножить на третье число и так далее.

Вычислим произведение нескольких целых чисел:

9 ∙ (– 14) ∙ 5 ∙ (– 1)

Решение:

9 ∙ (– 14) ∙ 5 ∙ (– 1) = (9 ∙ (– 14)) ∙ 5 ∙ (– 1) = (– 126) ∙ 5 ∙ (– 1) = ((– 126) ∙ 5) ∙ (– 1) = (– 630) ∙ (– 1) = 630

Ответ: 630.

При перемножении целых чисел, результат всегда будет целым числом.

Выводы

1. Если в произведении нечётное количество отрицательных множителей, то произведение будет отрицательным.

2. Если в произведении чётное количество отрицательных множителей, то произведение будет положительным.

Степень целого числа a с натуральным показателем n

Определение: степенью целого числа a с натуральным показателем n (n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен a.

a ∙ a ∙ a ∙ a ·…∙ a = aⁿ

n множителей

Если произведение содержит четное количество отрицательных множителей, то знак произведения будет "+".

Если произведение содержит нечетное количество отрицательных множителей, то знак произведения будет "-".

Если число n-четное, то знак степени будет "+".

Если число n-нечетное, то знак степени будет "-".

Рассмотрим примеры.

1. Первая степень любого числа равна самому числу.

a¹ = a

2. Вторая степень любого числа называется квадратом.

a² = a ∙ a

3. Третья степень любого целого числа называется кубом.

a³ = a ∙ a ∙ a

Например,

24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16

(– 5)3 = (– 5) ∙ (– 5) ∙ (– 5) = – 125

Итак, мы научились выполнять сложение, вычитание и умножение целых чисел. Рассмотрим, как найти значение выражения, которое содержит такие действия.

42 – 15 ∙ (– 6)

Решение

42 – 15 ∙ (– 6) = 42 – (15 ∙ (– 6)) = 42 – (– 90) = 42 + 90 = 132

Ответ: 132.

Мы изучили правила и свойства умножения целых чисел.

Используя их, решим две задачи.

Задача №1

Чему равно произведение последовательных целых чисел, начинающихся числом (– 200) и оканчивающихся числом 200?

Решение

Между числами (– 200) и 200 находится 0, а любое число, умноженное на 0 равно 0. Поэтому произведение последовательных целых чисел от (– 200) до 200 равно 0.

Ответ: 0.

Задача №2

Чему равно произведение всех целых чисел?

Решение

Целые числа состоят из целых положительных, отрицательных чисел, а также нуля. При умножении любого числа на ноль будет 0. Поэтому произведение всех целых чисел равно 0.

Ответ: 0