Основная теория по теме «Делимость. Проценты. Пропорции».

Простые и составные числа. Делитель, кратное. НОД. НОК.
Натуральные числа, на которые делится данное число, называются его делителями. (Делители числа 56 – это 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56).

Признаки делимости.

на 2	последняя цифра числа четная
на 3	сумма цифр числа делится на 3
на 4	две последние цифры числа нули или образуют число, которое делится на 4
на 5	последняя цифра числа 0 или 5
на 6	число делится на 2 и на 3
на 9	сумма цифр делится на 9
на 10	последняя цифра числа 0
на 25	две последние цифры числа 00, 25, 50 или 75

Натуральное число, имеющее ровно два делителя, называется простым числом. (Число 7 – простое: у него два делителя 1 и 7).
Натуральное число, имеющее более двух делителей, называется составным числом. (Число 12 – составное: у него более двух делителей, это - 1, 2, 3, 4, 6, 12).

3. У числа 1 только один натуральный делитель – число 1. Поэтому 1 и не простое и не составное.

4. Любое составное число может быть представлено в виде произведения простых множителей. Запись составного числа в виде произведения простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Например: 90 = 2 · 3 · 3 · 5.

Разложить на простые множители число 92820.

Решение:

Ответ: 92820 = 2⋅2⋅3⋅5⋅7⋅13⋅17

5. Натуральное число, которое делится на другое натуральное число без остатка, называют кратным. (Например, кратными для числа 63 являются числа 63, 126, 189, 252, и т.д. Кратных для данного числа бесконечно много; число 45 кратное числам 9, 5, 45, 1, 3, 15).

6. Общим делителем нескольких чисел называется число, являющееся делителем каждого их этих чисел. Среди всех делителей всегда есть наибольший. Такой делитель называется наибольшим общим делителем (обозначается НОД). Так, например, числа 16, 24, 32 имеют наибольший общий делитель – число 8. Этот факт коротко записывается так: НОД (16, 24, 32) = 8.

7. Алгоритм вычисления НОД: Найти НОД(1572; 2718)

Разложить на простые множители данные числа 1572 = 2 · 2 · 3 · 131;

2718 = 2 · 3 · 3 · 151 (отметить одинаковые простые множители;

найти произведение отмеченных простых множителей).

НОД(1572; 2718) = 2 · 3 = 6.

8. Одинаковых простых множителей у рассматриваемых чисел может и не быть. Например: 12 = 2 · 2 · 3; 55 = 5 · 11. Значит НОД(12; 55) = 1.

Такие числа называются взаимно простыми.

9. Общим кратным нескольких чисел называется число, являющееся кратным каждого из них. Например, числа 14, 18, 7 имеют общее кратное число 252, однако число 126 тоже является общим кратным этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, которое называется наименьшим общим кратным (обозначается НОК). В нашем примере наименьшим общим кратным перечисленных чисел будет число 126. Кратко этот факт записывается так: НОК (14, 18, 7) = 126.

10. Алгоритм вычисления НОК: Найти НОК( 36; 60)

Разложить на простые множители данные числа 36 = 2 · 2 · 3 · 3; 60 = 2 · 2 · 3 · 5 (отметить одинаковые простые множители; записать произведение всех простых множителей одного из чисел и всех неотмеченных множителей второго числа). НОК( 36; 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 3 = 180.

Если НОД( а; b) = 1, то НОК( а; b) = а · b. Также, НОК( а; b) ·НОД( а; b) = а · b.

В том случае, если одно натуральное число не делится на другое, можно выполнить деление с остатком.

Пусть, например, нужно разделить 325 на 4.

Действие записывают так: 325 : 4 = 81 (1 остаток).

Окончательный результат деления с остатком числа 325 на 4 записывается так: 325 = 4 · 81 + 1

Делимое = Делитель ⋅ Неполное Частное + Остаток