Задание 1.

Касательные в точках и к окружности с центром пересекаются под углом 76°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Введём обозначение, как показано на рисунке. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны, поэтому следовательно, треугольник — равнобедренный. Откуда Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, значит, дуга равна 104°. Угол AOB — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, равен 104°. Рассмотрим треугольник AOB, он равнобедренный, следовательно,

Ответ: 38.

Задание 2.

На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Решение.

Проведём радиус в точку касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Ответ: 40.

Задание 3.

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

Решение.

Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB. Из теоремы Пифагора:

Ответ: 5.