Задание 1.

Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 177°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол BOC — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Углы BAC вписанный, он равен половине дуги, на которую он опирается. Поскольку эти углы опираются на одну и ту же дугу, ∠BOC = 2∠BAC. Сумма углов треугольника равна 180°. Треугольник ABC — равнобедренный, углы при его основании равны, поэтому Следовательно, угол BОC = 3°.

Ответ: 3.

Задание 2.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение.

Пусть a — сторона квадрата. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен

Тогда сторона квадрата равна

Ответ: 32.

Задание 3.

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°, поэтому в условии говорится об односторонних углах. Пусть = , . Тогда ,

Таким образом, искомый угол равен 122°.

Ответ: 122.