Задание 1.

ABCDEFGH — правильный восьмиугольник. Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Величина угла правильного n-угольника вычисляется по формуле Поставляя равное восьми, получаем:

Ответ: 135.

Задание 2.

— правильный восьмиугольник. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность. Центральный угол равен . Угол опирается на ту же дугу, что и , но является вписанным, поэтому равен половине угла , т.е. 22,5°

Ответ: 22,5.

Задание 3.

В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, AD = CD, ∠B = 77°, ∠D = 141°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Проведём диагональ BD. Рассмотрим треугольники ABD и BCD, AB равно BC, AD равно CD, BD — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда ∠CBD = ∠ABD = ∠B/2 = 38,5° и ∠CDB = ∠ADB = ∠D/2 = 70,5°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда ∠A = 180° − ∠ABD − ∠ADB = 180° − 38,5° − 70,5° = 71°.

Ответ: 71.

Задание 4.

Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть x — меньший угол четырехугольника, тогда другие его углы равны 2х, 3х и 4х. Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360° имеем:

Таким образом, меньший угол четырёхугольника равен 36°.

Ответ: 36.

Задание 5.

Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

Решение.

Проведём радиусы к концам хорды, пусть точка H — её середина. Треугольник AOB равнобедренный, его медиана OH является высотой, поэтому треугольник AOH прямоугольный. По теореме Пифагора:

Следовательно, расстояние от хорды до параллельной ей касательной равно 75 + 85 = 160.

Ответ: 160.